增根

增根，是指方程求解后得到的不满足题设条件的根。与和其它产生多解的方程在一定题设条件下都可能有增根。在分式方程化为的过程中，分式方程解的条件是使原方程分母不为零。若整式方程的根使为0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0）那么这个根叫做原分式方程的增根。

对于分母的值为零时，这个分数无意义，所以不允许分母为0，即本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

解：，，

∴。

又因为，

∴方程无解

∴方程无意义，是增根。

设方程是由方程变形得来的，如果这两个方程的根完全相同（包括重数），那么称这。如果是方程的根但不是的根，称是方程的增根；如果是方程的根但不是的根，称是方程的失根。

在两非函数方程（如）联立求解的过程中，增根的出现主要表现在的变化上。

例如：若已知椭圆，O为原点坐标，A为椭圆右顶点，若椭圆上存在一点P，使，求椭圆的圆心率的范围。

解：椭圆上存在一点P，使，即是以OA为直径画圆，要求与椭圆有除了以外的另外一个解。所以联立椭圆和圆的方程：

因为有两个根，所以

而正解却是

由（*）得

∴

∴

然而问题出在，无论怎么取，只要，好像永远都大于0。

于是我们取

假设

即可得椭圆···①

与圆···②

联立即可得···(*)

有十字相乘

显然此时是增根

将带入①式

将带入②式

将带入(*)式

可知这里的确是产生了一个增根，而且在解题过程中不能通过任何方式排除，这说明多个非函数方程联立求解时，方程本身无法限制x的取值。一般来说，直线与圆锥曲线的联立并没有出现过算出两个解，还需要带回去验根的情况，大概是因为圆锥曲线不是函数，而直线是函数的原因。

注意：

1.不是任何的两个非函数方程联立都会产生增根。例如圆不是函数，但求两个圆的交点，不会产生增根。

2.增根的产生和定义域有关系，但没有绝对的关系。不能说联立方程时，将x定义域扩大或缩小就必然会引起增根。如上述例题中，①式定义域(-2,2)②式定义域(0,2)大多数人是在②式中，用x表示y，写成，再带入①式，产生了增根。但是如果我们在①式中用x表示y，写成，再带入②式，我们依然会得到增根。

下面列出两种必然会出现增根的：

椭圆与抛物线增根

椭圆(和抛物线得：

由得且

可知，若，则，出现原因是忽略了中的隐含定义域。联立方程式求解误认为（另外我们还知道）。

与抛物线增根

双曲线和抛物线联立方程式得

由韦达定理得且

可知，若，则，出现原因是忽略了中的隐含定义域。联立方程式求解误认为（另外我们还知道）。

解：两边平方得

得

得或（增根）

出现增根的原因是由于两边平方忽略了上式的且内的值大于等于0。

由于同样的粗心大意，错误还会在中体现。

解分式方程时出现增根或失根，往往是由于违反了方程的同解原理或对方程变形时粗心大意造成的。

如果不遵从同解原理，即使解整式方程也可能出现增根．例如将方程的两边都乘x，变形成，方程两边所乘的最简公分母，看其是否为0，是0即为增根。

还可以把x代入最简公分母也可。

增根的产生，归根结底都是因为思维的不全面产生的。解题时要保证步步变形的等价性，这种等价性要通过等式和不等式去约束出来，特别是不等式，容易被忽略。如果不得已必须用不等价变形来解题，那么最后千万别忘记通过检验来去掉增根，这种检验也要注意全面性。

许多人时，得到了增根，比如说能量是负值，一般的人都会将这个忽视掉，但这些值是挺令人寻味的。著名的物理学家狄拉克利用相对论、寻找粒子的能量时，他发现某个粒子的能量和其动量紧密相关，即（p为动量，m为粒子的质量），解得,你肯定想保留正根，因为你知道能量不会是负值，但数学家们告诉，你不能忽略负值，因为数学告诉我有两个根，你不能随便丢掉。

后来事实证明，第二个根，也就是为负的那个根，正是理论的关键：世界上既有粒子，也有。负能量就是用来解释什么是反粒子的。